奥伯斯佯谬问题的数理证明
奧伯斯佯谬错误问题也就是“宇宙空间为什么黑暗”的问题，历来被大爆炸宇宙论者看作是一个证明宇宙空间和时间有限性的依据！他们认为：宇宙天空之所以是黑暗的，是因为宇宙星系物质是有限的，而有限的星系可见光不足以照亮我们的视界和充满遥远宇宙的黑暗空间，但如果宇宙是无限的话，那么无限多的星系光线将终结于我们的视界，它们的光点将会充满整个黑暗的天空间隙，人们眼前的天空应该是明亮的，而事实并非如此，宇宙遍布漆黑，宇宙遥远的天空都是黑暗的间隙，仿佛什么东西也没有，因此宇宙应该是有穷的，星系物质是有限的。如此解释给大爆炸宇宙模型增添了许多可信度，相反，持不同观点的人们也包括一些著名的科学家对这个问题由于未能给出一个像样的解答，这使得这一本来有问题的问题变成了没有问题的问题。
然而，本作者经过详细的数理计算和分析，结果证明宇宙天空的黑暗是必然的，与宇宙空间和时间的有限性或无限性无关！
其实“天空为什么是黑暗的”问题不是一个十分抽象复杂的宇宙学问题，而是一个普通数学和物理学的问题，只要有中等的数学和物理学知识以及有肤浅的天文学知识即可解答。
我们将在下面以简单的数理理论对它展开分析和论证。
事实上，我们需要证明的问题只有一个，即是：无限多星系的宇宙天空是否是黑暗的？如果是黑暗的那么有限多星系的宇宙天空当然也就是黑暗的。要完成这个问题的证明，完全依靠物理实验是不可能的，而绝对依靠数学计算也是不可能的。我们唯一只有通过综合数理理论分析才能得到结论。下面是我们具体的论证过程。
我们首先对宇宙星系作如下理想状态的假设：
1).宇宙空间是无穷大的，星系是无限多的，而且星系在宇宙空间的分布是基本均匀的；
2).所有星系的直径大小是一致的，而且所发出的光亮度也是基本相等的；
3).现有星系的视亮度应看作是宇宙总星系在它本身体现的合视亮度，而不仅仅是它本身的视亮度； 4、我们以地球A为圆心，以一个离地球最近且也最亮的星系B1的距离为半径R1(这个星系理所当然应该选择仙女座星系，因为它满足了最近和最亮的条件)画一个平面圆，同时还分别以：R2=2R,R3=3R,…Rn=nR为半径画n个同一圆心同一平面的圆，显然每个圆的边线的间距都等于R，每一个圆的半径都比前一个圆或后一个圆的半径大R或小R。
5、暂设宇宙有无穷多个星系均匀等距(指星系与星系的中心距均等于R)地分布在一个平面的n个圆的边线上。由于我们只研究银河系以外的星系对地球的光照亮度，因此银河系内所有的恒星和发光星体必须被考虑在外,否则我们将无法搞清楚河外星系能否照亮地球天空的问题。
此外，我们还需理解，人的视觉亮度是视线角的感观亮度，而不是整个宇宙的天空亮度。我们只要从一个宇宙视线角上搞清楚这个视线角的宇宙星系究竟给予我们地球多少光亮度的问题，就能搞清楚整个宇宙立体球状空间的星系究竟给予我们地球多少光亮度的问题。我们假设在一个假想的平面上，地球处在宇宙星系包围的中心，离地球最近和最明亮的仙女座星系就处在以它的距离为半径的第一个圆的边线上。在实际的宇宙中并不存在第二个仙女座星系，但为了说明宇宙星系可能给地球的最大光亮度，理论上我们还是假定在所有圆的边线上均匀等距地布满了无限多个仙女座星系，这样做的结果会更有说服力。
此外，因为星系存在着巨大的空间直径，这一空间直径产生了一个视线夹角，这个视线夹角遮挡了后面所有夹角以内的星系的光线到达地球，因此从这一点来说，无论宇宙星系是有限的还是无限的，地球所接受到宇宙的可见光的总数量都是有限的，根本不可能像一些人所认为的那样，宇宙会有无限多的光点终结于地球。但为了更能说明问题，我们还是假设宇宙所有星系的光线都能照到地球吧！有了这些假想和认识后，下面的解析就简易了。 现假设从这一平面间隙可见到的星系与地球的距离分别是： R1=R，R2=2R1，R3=3R1,….Rn=nR1…。
又假设离地球最近的第一个星系(以最亮的仙女座星系M31为例)照射到我们地球上的视亮度为：P1，其后面星系照射到地球上的光亮度(或视亮度)分别为： P2，P3，P4…Pn。
从假设得知 R＝R2／2＝R3／3 …＝Rn／n
根据物理学光亮度的传播衰弱原理，得如下关系：
P2＝P1R2／（2R）2＝P1／22 ，
P3＝P1R2／（3R）2＝P1／32…，
Pn＝P1R2／（nR）2＝P1／n2， （1）式
（1）式中n为大于零小于无穷的整数，Rn为第n个星系至观测点(或地球)的距离，Pn为第n个星系给地球的视亮度。（1）式说明: 同等星系的视亮度之比等于它到地球的距离平方之比，当n足够大或星系足够远时，星系的视亮度趋于零。这是基本的光学常识，也是我们解决问题的基本物理学原理。
根据以上分析，我们于是求得一个星系间隙所对应的宇宙天区的无穷多个星系照射到地球的总光亮度P，为:
P＝P1＋P2＋P3…Pn （2）式
由(1)式代入（2）式得: P=P1(1+1/22+1/32…+1/n2) (3)式
当n→∞时数列 (1+1/22+1/32…+1/n2)→2 所以（3）式即有不等式：P≤2P1 （4）式 将（2）式代人（4）式又有：
P1≥P2＋P3＋P4…Pn    （5）式
(4)式P≤2P1 和（5）P1≥P2＋P3＋P4…Pn 式是两个极为重要的结果，这两个结果说明了如下几个问题：   
一、（4）式中P为两个邻近星系间隙对应的天区的星系的视亮度总合，P1为我们假设的离地球最近也最亮的星系(我们以仙女座星系为对比)视亮度。这是个令人吃惊的结果，它意味着一个星系间隙所对应天区的n个（或无穷个）星系照射到地球的总合视亮度还不足一个邻近星系的视亮度的两倍，即在一个观察视向天区上，整个宇宙给观察者看到的亮度还没有两个相当于仙女座星系那样的亮度！
二、(5)式还说明，任何一个更接近地球的星系的视亮度大于它后面对应天区的所有星系视亮度的总合！也就等于是说，前面一个星系的亮度大于后面整个宇宙星空亮度的总和！我们是否感到宇宙的明亮取决于邻近星系，而不取决于后面宇宙星系的多与少或有限与无限！从直观感觉而言，离我们最近也最亮的仙女座星系及周边空间给我们的亮度非常黑暗，更不用说那些遥远的只有不足一个星系亮度的宇宙空间了！ 这两个不等式对于从理论上解决“天空为什么是黑的”问题将具有决定性的意义。
三、人的视觉是以方向片区的亮度分别感受的，而不是以整个宇宙的集合亮度感受的，只要人感到宇宙每一方向片区都不明亮，则对整个宇宙空间的感觉也不会明亮。因此我们只需证明宇宙的一个方向是黑暗的，也就证明了整个宇宙也是黑暗的，显然（4）式足以说明空间的任一片区都是黑暗的；
四、也许会有人认为，以上（4）式和（5）式所包括的也仅是于可见星系的亮度，而那些未见星系或被遮挡的星系的亮度却未包括在内或未能说明，关于这个问题我们的解释是这样的：我们所能见到的星系（例如仙女座星系）的视亮度应是本身亮度和宇宙总星系亮度（包括被遮挡星系亮度）在它本身体现的总合，即使那些被遮挡的星系有对宇宙可见星系增加亮度的可能，但己被可见星系的亮度包括在内，因此（4）式和（5）式所计算的可见星系的亮度，实际上己包括了可见星系本身的视亮度和不可见（或被遮挡）星系所增加的亮度。 到此为止，我们实际上己完成了“宇宙空间为什么是黑的”问题即奥伯斯佯谬问题的理论解答，但我们还是继续探讨整个宇宙空间究竟给地球多少光亮度。
首先我们看地球(或银河系)周边最多可容纳多少个邻近星系的间隙和对应的天区呢？并且宇宙总共向地球供给了多少亮度？这个问题我们只能按照假定的理想状态来回答。
现我们假定地球周边空间充满了像仙女座(M31)这样特别明亮的星系(这比假想无穷的宇宙空间充满无限暗淡的星系更有说服力)，仙女座星系的半径为10万光年，视向圆面积约为3.14×10×10＝314万平方光年，以及距离地球300万光年，依此计算（4×3.14×3002／3.14×102＝3600），在距离地球300万光年的宇宙空间球面上，也至多能容纳M=3600多个诸如像仙女座这样大小的星系。根据我们的计算（计算不复杂，读者也可计算），这个球面上有3600个星系就应该有3600×3/2=5400个视间隙。
(4)式P＜2P1说明，在地球上观测一个星系间隙的视亮度小于两个邻近星系的视亮度，而代表5400个视间隙给地球的总光亮度应为:
P总＜5400X2P1=10800P1。
这等于是说整个宇宙给地球的总亮度P总之和还不如10800个仙女座星系的亮度P1。那么一个仙女座星系给予我们的光亮又是多少呢？我们可根据目测得知，它还不如离我们最近的(4.3光年)一颗恒星的亮度，如此算来，整个宇宙(除银河系外)才有相当于几千颗微弱的恒星视光亮在照射我们地球，我们能感到地球眼前的天空是明亮的吗，我们又能感到那遥远宇宙的天空背景是明亮的吗？显然不能。我们这样解说读者会更明白，即当你在一个满天星星但无月亮的夜晚，也许还是感觉到天空的黑暗，但这种黑暗的夜晚所存在的微弱光亮，也并不主要是由河外星系所给予的，而主要是由银河系内亿万个恒星的光亮所提供的，银河系给予我们的光亮已是整个宇宙所给予的光亮的数万万倍，可想而知，假如我们关闭银河系内所有恒星的光亮，而仅仅依靠宇宙遥远星系的微弱光亮，那么天空的黑暗程度将是难以形容的。
以上分析充分说明“天空为什么是黑的”问题的根本原因在于：
第一，由于星系之间的间距非常遥远，星系的光亮甚至不能照亮本身所在的空间，特别是地球观看它的亮度与它的距离平方成反比，这就使得前面与后面的星系产生一个巨大的亮度级差，这个巨大的亮度级差导致排列在后面的星系的可见光迅速减弱到人的视觉范围以外，即使理论上假定宇宙空间是无限大的，星系是无穷多的，而且也有无穷多的视觉不到的星系光信号照射到地球，但整个宇宙的视亮度总和也还是小于邻近星系亮度的二倍，这是从数理模型原理上得到的纯理论结果，这一理论结果与最近的仙女座星系的亮度将主要决定宇宙的实际视亮度，然而仙女座及周边空间所给出的亮度又是非常的微弱和黑暗，因此整个宇宙空间的黑暗就是在所难免的。
第二，实际上宇宙也不可能有无穷多个星系的光信号照射到地球，其原因有是星系对星系的相互遮挡，所有星系视线夹角内的星系光线是不可能到达地球的。
第三，宇宙的透明性也是宇宙黑暗的另一种原因，因为宇宙空间完全没有反射可见光的尘埃和背景，所以除了可见星系本身外，包括那些横穿空间的可见光我们都是不可见的。
以上三个原因根本上注定了宇宙天空就是黑暗的，宇宙天空的黑暗并非与宇宙的有限与无限性相关，也并非与大爆炸宇宙的模式相关，而是与宇宙可见光的微弱和人对可见光有限的视觉能力相关。以人的视觉而言，数百万光年以外的天体基本上都是黑暗的，而以天文望远镜而言，数亿光年以外的可见天体之间就有许多黑暗的空隙，但若以射电望远镜而言，这些黑暗的空隙却充满了可探测的星系，宇宙几乎不存在间隙，充滿了星系的光辐射，空间似乎是明亮的，黑暗只是人相对可见光和相对视觉的能力而言，这就是我们对“天空为什么是黑的”问题的根本解释。当然这一解释只是说明宇宙的黑暗与宇宙的有限性和无限性无关，并不是说宇宙就一定是无限的，也不是说宇宙有限性是不可能的。但要证明宇宙的有限性和宇宙起源于一次大爆炸，这一理由不成立！
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